Задача 11

(стр.353, от учебника на Ст.Тонкова и П.Горанова: Модели за макроикономически анализ и прогнозиране)

Икономиката на страната се представя от два сектора, всеки от които предлага по един продукт. От първия продукт 30 единици се използват за производствено потребление във втория сектор и 170 единици са предназначени за крайно потребление. От втория продукт 50 единици се потребяват за производствени нужди в първия сектор и 100 единици отиват за крайно потребление. Вложеният труд, позволяващ достигането на посоченото равнище на производството в първия сектор, е 60 единици, а във втория сектор - 120 единици.

а) Представете в шахматна таблица междусекторното потребление на продукцията. Допълнете таблицата с информацията за крайното потребление и за вложения труд. Може ли да се говори за добавена стойност в разширената таблица?

б) Определете значенията на технологическите коефициенти и на коефициентите за трудоемкост. Представете ги в подходяща форма.

в) Могат ли коефициентите на инверсната матрица на Леонтиев да получат отрицателни стойности? Определете значенията на пълните трудови разходи за производството на единица краен продукт.

г) Определете границата на възможностите за производство, когато разполагаемото количество труд в икономиката възлиза на 180 единици. Какви изчисления трябва да се направят, за да се провери, че отговорът, който давате, е правилен? Каква интерпретация може да се даде на точките на границата, разположени върху осите на координатите?

д) В резултат на една нова технология, примерно технология II, вложеният труд в сектор две намалява два пъти. Каква ще бъде границата на възможностите за производство в този случай при условие, че количеството на труда остане 180 единици? Технологичната иновация във втория сектор ще окаже ли въздействие върху резултатите от първия сектор? Аргументирайте се!

е) Допуска се, че съществува трета технология за производството на продукцията във втория сектор. За производството на единица продукция се използват 0,25 единици от първия продукт и 0,4 единици труд. Каква ще бъде границата на възможностите за производство в този случай? Сравнете графично получените граници според технология I, II и III за производството на втория продукт.

Решение на задачата

а)

Шахматна таблица на междусекторното потребление на продукцията +

информацията за крайното потребление и за вложения труд:

	Производствено потребление (ПП)		Краен продукт (КП)	Общо разпределение (ОР)
	1	2
1	x11	x12	Y1	X1
2	x21	x22	Y2	X2
Вложен труд	L1	L2

=>

	Производствено потребление (ПП)		Краен продукт (КП)	Общо разпределение (ОР)
	1	2
1	x11	30	170	X1
2	50	x22	100	X2
Вложен труд	60	120

Ако се идентифицират общите материални разходи с вложения труд за достигането на посоченото равнище на производството по сектори (Вложен труд= Общо материални разходи), то за добавена стойност в разширената таблица се получават следните резултати:

Сектори потребители	Производствено потребление (ПП)		Общо производствено потребление (ОП)	Крайно потребление (КП)	Общо разпределение (ОР)
Сектори производители	1	2
1	x11	30	x11+30	170	X1
2	50	x22	50+x22	100	X2
Общо материални разходи	60	120	180	270	X1+X2
Добавена стойност	X1-60	X2-120	270
Общо ресурси	X1	X2	X1+X2
Сектори потребители	Производствено потребление (ПП)		Общо производствено потребление (ОП)	Краен продукт (КП)	Общо разпределение (ОР)
Сектори производители	1	2
1	10	30	40	170	210
2	50	90	140	100	240
Общо материални разходи	60	120	180	270	450
Добавена стойност	150	120	270
Общо ресурси	210	240	450

б)

Технологическите коефициенти се пресмятат по формулата:

Матрицата на преките материални разходи е

Коефициентите, характеризиращи разхода на вложения труд по сектори се пресмятат по формулата:

и образуват вектор-ред

в)

Коефициентите на инверсната матрица на Леонтиев, наричана още матрица на коефициентите на пълните материални разходи не могат да бъдат отрицателни, ако матрицата на преките материални разходи е продуктивна - няма икономически смисъл (ако се получат такива при изчисленията, това означава, че математическият модел е съставен погрешно).

Те се получават по следния начин:

Ако , то системите от уравнения за определяне на пълните материални разходи имат вида:

1. ,

като съответно и

2. ,

като съответно и

Алтернативният (и практически приложим) начин за определяне на коефициентите на пълните материални разходи е следният:

Тъй като:

[Е-А].[X]=[Y], където

Е е единична матрица;

А - матрица на коефициентите на преките материални разходи;

Х - вектор-стълб на обема на производство;

Y - вектор-стълб на обема на крайния продукт,

то е необходимо да се реши следното матрично уравнение: [Е-А]^-1.[Y]=[X]

[Е-А]^-1 е обратната матрица на Леонтиев, която се обозначава като

[B]= [Е-А]^-1

A=	0.047619048	0.142857143	матрица на коефициентите на преките материални разходи
	0.208333333	0.375
E=	1	0	единична матрица
	0	1
E-A=	0.952380952	-0.14285714
	-0.20833333	0.625
B=1/(E-A)=	1.105263158	0.252631579	обратната матрица на Леонтиев
	0.368421053	1.684210526

Изчислява се с помощта на MS Excel (функции Math/ MINVERSE)

За определяне значенията на пълните трудови разходи за производството на единица краен продукт използваме формула:

, където

са годишните разходи за заплати (вложен труд) в сектор j, а

- обем на производството в сектор j.

С помощта на следната формула изчисляваме пълните разходи на труд за производство:

представляват пълните трудови разходи за производството на продукцията в сектор j, изразени във фонд работна заплата

са коефициентите на пълните материални разходи за производството на единица крайна продукция в сектор j.

Ако приемем, че вложеният труд, позволяващ достигането на посоченото равнище на производството в първия сектор, е 60 единици, а във втория сектор - 120 единици и представлява работната заплата в съответния сектор, то и , а оттам съответно и

Ако обозначим

, то и [T]=[L].[B]

г)

За определяне границата на възможностите за производство, пресмятаме:

Общото (разполагаемото) количество на труда възлиза на

(от и )

,

т. е.

	=>
	=>
	=>

Цената (таксата) на замяна на един вид краен продукт с друг вид се изчислява по формулата:

Цената на замяна на един вид краен продукт с друг вид е 1.8285714 и показва с колко единици трябва да се съкрати обемът на крайния продукт в първия сектор, за да нарастне с една единица във втория сектор, при запазване на общото количество на труда.

д)

Ако вложеният труд в сектор 2 намалее два пъти, но количеството на труда остане 180 единици, то следва да се запази съотношението , тъй като се запазва количеството на вложения труд, откъдето следва:

или по алтернативен начин отново се получава:

Забележка: и - преди иновацията, съответно в сектор 1 и в сектор 2;

и - след иновацията, съответно в сектор 1 и в сектор 2

И така, ако L=180 е вложеният труд в двата сектора преди и след технологичната иновация можем да въведем следните означения:

, където

е вложеният труд в сектор 1 преди иновацията

е вложеният труд в сектор 2 преди иновацията

, където

е вложеният труд в сектор 1 след иновацията

е вложеният труд в сектор 2 след иновацията

и и

=> , но =>

, т. е. или . което означава, че технологичната иновация в сектор 2 се отразява на количеството на вложения труд в сектор 1 по следния начин: половината от вложения труд в сектор 1 се увеличава с половината от вложения труд общо в двата сектора.

е)

Графична интерпретация на границата на възможностите за производство според технология I, II и III

технология I:

		=>
		=>
		=>

	Производствено потребление (ПП)		Краен продукт (КП)	Общо разпределение (ОР)
	1	2
1	x11=10	x12=30	Y1=170	X1=210
2	x21=50	x22=90	Y2=100	X2=240
Вложен труд	L1=60	L2=120

технология II

, , , =>

		=>
		=>
		=>

	Производствено потребление (ПП)		Краен продукт (КП)	Общо разпределение (ОР)
	1	2
1
2
Вложен труд

технология III

, =>

ако , то

, ,

, =>

ако приемем , то

		=>
		=>
		=>

	Производствено потребление (ПП)		Краен продукт (КП)	Общо разпределение (ОР)
	1	2
1			p
2
Вложен труд	=108	=72

Допълнителна литература:

http://en.wikipedia.org/wiki/Input-output_model#Input-output_Analysis_Versus_Consistency_Analysis

http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/inputoutput.htm

http://www.feb.uni-sofia.bg/FEBA/fileadmin/user_upload/ivanov/matecon/wmeIV_01.pdf

http://www.feb.uni-sofia.bg/FEBA/fileadmin/user_upload/ivanov/matecon/wmeIV_02.pdf

http://www.feb.uni-sofia.bg/FEBA/fileadmin/user_upload/ivanov/matecon/wmeIV_03.pdf

http://www.iki.bas.bg/english/CVita/angelov/prognosis2020/001Contents.htm#top